已知函数f(x)=|1-1/x|

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 04:05:29
已知函数f(x)=|1-1/x|
(1)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域和值域都是[a,b].若存在，求出a,b的值;若不存在，请说明理由
（2）若存在实数a,b（a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m不等于0）。求实数m的取值范围。

将函数分开，当x小于0时，y=1-1/x,其值域为1到正无穷;当x大于0小于等于1时，y=1/x-1，其值域为0到正无穷;当x大于等于1时，y=1-1/x，其值域为0到1
（1）.从上面分段函数的定义域和值域可以看到，要想其定义域和值域都是〔a,b〕，那只能是第2段，因为只有第2段的定义域和值域有重合的部分，同时可以看到它是一个单调减函数，因此要想定义域和值域都是〔a,b〕，必有下面两个式子成立：a=1/b-1,b=1/a-1,解之得到a=b，与题所给条件不合，所以不存在
（2）.当x小于0时，这是一个单调增函数，因此有ma=1-1/a,mb=1-1/b,其中a小于b小于0，可以得到m小于0
当x大于等于1时,这也是一个单调增函数，同样有ma=1-1/a,mb=1-1/b,其中1小于等于a小于b，可以解得m大于0小于等于1/4
当x大于0小于等于1时，由（1）可以得到ma=1/b-1,mb=1/a-1,可以得到a=b,因此不存在
综上所述，可以得到m的取值范围是小于0或大于0小于等于1/4。